Σ-алгебра τ-прошлого - Σ-Algebra of τ-past

В σ-алгебра τ-прошлого, (также называемый остановленная σ-алгебра, остановленное σ-поле, или σ-поле τ-прошлого) это σ-алгебра связанный с время остановки в теории случайные процессы, филиал теория вероятности.^[1][2]

Определение

Позволять ${\displaystyle \tau }$ быть время остановки на фильтрованное вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T},P)}$. Затем σ-алгебра

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }:=\{A\in {\mathcal {A}}\mid \{\tau \leq t\}\cap A\in {\mathcal {F}}_{t}{\text{ for all }}t\in T\}}$

называется σ-алгеброй τ-прошлого.^[1][2]

Свойства

Монотонность

Является ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ два времени остановки и

${\displaystyle \sigma \leq \tau }$

почти наверняка тогда

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\sigma }\subset {\mathcal {F}}_{\tau }.}$

Измеримость

Время остановки ${\displaystyle \tau }$ всегда ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$-измеримый

использованная литература

1. Карандикар, Раджеева (2018). Введение в стохастическое исчисление. Сингапур: Springer Nature. п. 47. Дои:10.1007/978-981-10-8318-1. ISBN  978-981-10-8317-4.
2. Кленке, Ахим (2008). Теория вероятности. Берлин: Springer. п. 193. Дои:10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.